一般Gauss-Legendre求积公式

对于一般的Gauss型求积公式

取权函数, 积分区间设定为, 则得到一般的Gauss-Legendre求积公式

取Legendre多项式的零点作为Gauss点, 通过计算得到Gauss点个数和时的求积公式

以及

变量替换方法

上述分析中, 积分区间固定为, 实际应用时做变量替换

将被积区间化为

复化Gauss-Legendre求积公式

将被积区间m等分, 记, 作变换

在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss-Legendre求积公式

不妨设

则有:

Gauss点个数时,

Gauss点个数时,

总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:

1. 分割区间, 记录区间端点值；
2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；
3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.

针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数 compgauss() 如下:

function [ ] = compgauss(a, b, n)
% Composite Gauss Integration
% Equation Type: n=2, n=3
% Coded by Nan.Xiao 2010-05-25
% Step.1 Divide Interval
% Step.2 Calculate
% Step.3 Sum Results
format long
f = @(x) exp(x).*sin(x);
h=(b-a)/n;
xk=zeros(n+1,1);
xk(1,1)=a;
xk(n+1,1)=b;
fk1=zeros(n,1);
fk2=zeros(n,1);
for i=1:n-1
    xk(i+1,1)=a+h*i;
end
for j=1:n
    fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+...
        f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3)));
end
for r=1:n
    fk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+...
        (8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+...
        (5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5));
end
mysum1=h*sum(fk1)/2;
mysum2=h*sum(fk2)/2;
disp('Result of 2 Nodes:')
disp(mysum1);
disp('Result of 3 Nodes:')
disp(mysum2);
end

总结

1. Gauss求积公式较一般的机械求积公式的进步之处, 在于其针对插值型求积公式进行了改进. Gauss公式将插值节点设为未知, 成功地将代数精度由次提高到次. 计算过程简单, 速度快, 达到要求精度所需步骤较少.

2. (复化) Gauss 求积的一个问题在于, 增加Gauss点个数, 继续求解Gauss系数和Gauss点值时, 需要解一系列非线性方程组. 其解析解较难求得. 而取数值解作为公式中的参数, 不如解析解理想.