环境：Ubuntu 10.10 + MATLAB R2010b for UNIX

1. 从 http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/

下好UMFPACK本身及其依赖包（均属于所谓的 SparseSuite），平行放置于一个目录。理论上这些就足够：

AMD
CAMD
CCOLAMD
CHOLMOD
COLAMD
UFconfig
UMFPACK

从 http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/metis/download

下载metis-4.0，解压后同样放入上述目录。

2. 此时如果在MATLAB中进入UMFPACK/MATLAB目录执行 umfpack_make，会发现不能编译Mathworks他丫的MEX。提示：

Warning: You are using gcc version "4.4.4-14ubuntu5)".  The version currently supported with MEX is "4.3.4".

看来Ububtu 10.10自带的gcc版本太高，我们按照

https://help.ubuntu.com/community/MATLAB

的MEX function一节的1 - 3步先安装一个gcc 4.3.4 。。。

3. root启动MATLAB，执行

getenv('PATH')
setenv('PATH',sprintf('/home/%s/.matlab/bin:%s',getenv('USER'),getenv('PATH')));

再次 getenv('PATH') 发现环境变量已经修改成功，进入UMFPACK/MATLAB目录，执行 umfpack_make 即可。

要确认是否已经编译成功，执行 umfpack_demo 即可运行一个求解demo，还有一些对比内建浮点性能之类的信息，比较无聊。

另外，直接法还有一个求解器PARDISO可以选择，但是好像授权很不友好，academical也只能试用30天，简直是让人发指 。。。没有做更多的尝试。

首先上一段800字的原理说明:

......

由于作者心里很清楚读者将会人肉Skip上面一段, 所以这里直接人肉省略其中的797字.

如果执意想看一下, 参考 Wikipedia 好了.

下面是一个很好懂的 MATLAB 实现:

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function [ ] = romberg(aa, bb, kk, iter)
% Romberg Integral Method
% Coded by Nan.Xiao 2010-05-23
% Step 1. Calc TrapeStep
% Step 2. Calc Romberg Method
% Step 3. Extract Diagnal & Output
function [ ] = trapestep(a, b, k)
    format long
%     function y = f(x)
%         y=(2/sqrt(pi))*exp(-x);
%     end
%     Examples Can Also Be:
%     function y = f(x)
%         y=x*sin(x);
%     end
%     Or
    function y = f(x)
        y=x*sqrt(1+x.^2);
    end
k1=2^(k-1);
temp=zeros(k,k1);
mysum=zeros(k,1);
t=zeros(k+1,1);
for i=1:k
    for j=1:(2^(i-1))
    temp(i,j)=f(a+(((2*j-1)*(b-a))/(2^i)));
    end
end
for p=1:k
    mysum(p,1)=sum(temp(p,:));
end
t(1,1)=0.5*(f(a)+f(b));
for q=2:k+1
    t(q,1)=(0.5*t(q-1,1))+(((b-a)*mysum(q-1,1))/(2^(q-1)));
end
end
    format long
trapestep(aa, bb, kk);
diagonal=zeros(kk,1);
tt=zeros(kk,kk);
for v=1:kk
    tt(v,1)=t(v,1);
end
for r=2:kk
for s=2:r
    tt(r,s)=((4^(s-1)*tt(r,s-1))-tt(r-1,s-1))/(4^(s-1)-1);
end
end
save('tt.txt', 'tt', '-ascii', '-double'); % Save the Table
% Extract Table Diagonals
for w=1:kk
    diagonal(w,1)=tt(w,w);
end
disp('Romberg Table Diagonals:')
disp(diagonal);
% Output Final Result
cc=2;
while abs(diagonal(cc,1)-diagonal(cc-1,1))>=iter || abs(diagonal(cc+1,1)-diagonal(cc,1))>=iter
    cc=cc+1;
end
disp('The Final Result is:');
disp(diagonal(cc,1));
end

与网上其他程序不同, 我在这里没有做太多的判断, 将二分的次数k作为一个参数手动设定, 是为了观察计算的具体过程. 同时, 为了方便移植, 仅使用最基本的矩阵操作语句, 没有使用 MATLAB 中的 feval() 函数, 要改变被积函数, 直接修改函数体. 最终目的是, 我要取得计算产生的含有的表格, 以方便完成笔头的作业. 懒到一定程度了是不是?

如果我们把前两个作为Example的被积函数注释掉, 计算第三个积分, 设定iter=1e-6, 将 k 值提高至23, 输入语句 romberg(0, 3, 23, 1e-6), 将会华丽地出现如下错误：

Out of memory. Type HELP MEMORY for your options.

这是因为, 变步长梯形法的递推公式

好, 大不了不生成了, 改掉上面完全不管内存的写法, 特别是改写 25-27 行的 for 循环:

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function [ ] = romberg2(aa, bb, kk, iter)
% Romberg Integral Method
% Coded by Nan.Xiao 2010-05-23
% Step 1. Calc TrapeStep
% Step 2. Calc Romberg Method
% Step 3. Extract Diagnal & Output
function [ ] = trapestep2(a, b, k)
format long
      function y = f(x)
          y=(2/sqrt(pi))*exp(-x);
      end
%     Examples Can Also Be:
%     function y = f(x)
%         y=x.*sin(x);
%     end
%     Or
%     function y = f(x)
%         y=x*sqrt(1+x.^2);
%     end
temp=zeros(k,1);
t=zeros(k+1,1);
for i=1:k
    for j=1:(2^(i-1))
    temp(i,1)=temp(i,1)+f(a+(((2*j-1)*(b-a))/(2^i)));
    end
end
mysum=temp;
t(1,1)=0.5*(f(a)+f(b));
for q=2:k+1
    t(q,1)=(0.5*t(q-1,1))+(((b-a)*mysum(q-1,1))/(2^(q-1)));
end
end
    format long
trapestep2(aa, bb, kk);
diagonal=zeros(kk,1);
tt=zeros(kk,kk);
for v=1:kk
    tt(v,1)=t(v,1);
end
for r=2:kk
for s=2:r
    tt(r,s)=((4^(s-1)*tt(r,s-1))-tt(r-1,s-1))/(4^(s-1)-1);
end
end
save('tt.txt', 'tt', '-ascii', '-double'); % Save the Table
% Extract Table Diagonals
for w=1:kk
    diagonal(w,1)=tt(w,w);
end
disp('Romberg Table Diagonals:')
disp(diagonal);
% Output Final Result
cc=2;
while abs(diagonal(cc,1)-diagonal(cc-1,1))>=iter || abs(diagonal(cc+1,1)-diagonal(cc,1))>=iter
    cc=cc+1;
end
disp('The Final Result is:');
disp(diagonal(cc,1));
end

理论上只要CPU时间足够, 这样做基本上可以得出正确结果. 我们需要的计算过程保存在 tt.txt 中.

写这个小函数的时候, 还遇到了一个有意思的事情. 在使用 while 语句判断哪个是最终积分结果时, 不仅要与前一项作差, 还要与后一项作差, 否则, 一旦遇到前两项之差较小, 但与真实值相差很大的情况时将判断失误. 试一下第二个被积函数就知道了. 计算过程大致是这样的:


-0.000000000000001
0.000000000000001
-7.018385351885766
-6.266954014124826
-6.283266463460164
-6.283185210826781
-6.283185307207264
-6.283185307179584

......

如果作的是前一种简单判断, 显然将输出 0.000000000000001 作为最终积分结果.

如果你有兴趣的话, 这里附上一份 Dirty Work.

写程序是一门艺术, 而不仅仅是一门技术(又有几人能够达到大神的Literate Programming境界呢？), 在这方面, 用一句名言来形容一下自己, 仍然是 Too simple, sometimes naive.

        ——P. Erdos

即日启程, 在接下来几天没有网络的日子里, 我深信亲情能够温暖人心. 临行前突然又想写点东西. 标题的前半句出自《圣经》, 后半句与本文有点关系, 似乎还是王小帅一部电影的英文名. 中间还少了一环, 这环就是数学. 大神P.Erdos[1] 不太相信上帝, 但他相信世界上有一本超穷的“天书”(The Book), 那里包含了所有数学定理最简洁、最漂亮、最优雅的证明. 他对一个证明的最高赞誉就是:

It is from The Book!

按照God→Math→Love的逻辑, 爱亦应有自己的数学表述. 有了数学表述自然要可视化一下. 笛卡尔心形线令人心碎的爱情故事不知其真实程度, 不过确实够浪漫的. 不过这隐函数都学完了还画心形线就太out了, 今天咱也浪漫一把, 画个隐函数方程生成的三维心. 不知此图能否有幸入选The Book的图形部分?

图1: MATLAB生成三维心形

原始方程:

自己画一个?

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[x,y,z]=meshgrid(linspace(-3,3,120));
f=(x.^2+(9*y.^2)./4+z.^2-1).^3-((9*y.^2).*(z.^3))./80-(x.^2).*(z.^3);
p=patch(isosurface(x,y,z,f,0));
set(p, 'FaceColor', 'r', 'EdgeColor', 'n');
daspect([1 1 1]);view(3);camlight('right');lighting phong

[1] P.Erdos (1913-1996), 当代最伟大的数学家之一, 他一生中同485位合作者发表了1475篇数学论文. Erdos的研究领域主要是数论和组合数学, 但他的论文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛函分析、一般拓扑、代数拓扑、统计、数值分析、计算机科学、信息论等等. 美国数学学会(AMS)的《数学评论》杂志曾把数学划分为约六十个分支, Erdos的论文涉及了约40%.

斯人已逝, 思想长存.

2010年春节前

雪夜哈尔滨